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有数据集 D={ (xi,yi),1≤i≤N}
,然后定义目标函数 ∑Ni=1(yi−f(xi))2+λ∫baf′′(x)2dx,记为(1)
式。然后我们有如下结论:使(1)最小化的解一定是分段三次多项式。
证明如下。
记 F
为函数族 a=x0<⋯<xn<xn+1=b 上的分段三次多项式(splines),且在首尾两段 [x0,x1] 和 [xn,xn+1] 上是一次多项式,那么他一定有 4(N−1)+2∗2−3N=N的自由度。
若 f∈F
,则当 x∈[x0,x1],x∈[xn,xn+1] 时,有 f′′(x)=0。
(2) 我们设 g(x)
也是(1)式的解,则下面证明一定能找到 f∗ 使得目标函数比 g(x) 小,则 f∗∈F,
f∗(xi)=g(xi),∀1≤i≤N
.
(3)记 h(x)=g(x)−f∗(x)
,则 h(xi)=0,∀1≤i≤N(4) 下面我们证明, h′′(x)⊥f∗′′
(两者内积为0),即 ∫bah′′(x)f∗(x)′′dx=0。
∫bah′′(x)f∗(x)′′dx=∫baf∗(x)′′dh′(x)=f∗(x)′′h′(x)∣ba0−∫bah′(x)df∗(x)′′
且 −∫bah′(x)df∗(x)′′=−[∫x1a+∑N−1i=1∫xi+1xi+∫bXN]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫x1ah′(x)f∗(x)′′′dx∫bXNh′(x)f∗(x)′′′dx∫xi+1xih′(x)f∗(x)′′′constantdx≡0≡0=f∗(x)′′′∫xi+1xih′(x)dx0
所以得到 h′′(x)⊥f∗′′
。
(5)有了上述结论后,我们有 g(x)=f∗(x)+h(x)⇒g′′(x)=f∗(x)′′+h′′(x)
,然后有 ∥g′′(x)∥2=∥f∗(x)′′+h′′(x)∥2=∥f∗(x)′′∥2+∥h′′(x)∥2≥∥f∗(x)′′∥2,所以对于所有的g,我们都有其二阶导数的范数小于f的二阶导数的范数,故在(1)式中代入g总比代入f大(或者相等)。这样我们就把一个无限维的最优化问题变为了有限维。
1. 函数的平移与缩放
平移: fk(x)=f(x−k)
缩放: fd(x)=2df(2dx)
组合起来就是 fdk(x)=2df(2dx−k)
。由此,对于每个 d ,我们可以定义一个函数族 Fd:{ fdk(x),k∈Z},写成矩阵形式就是
d⋯−2−1012⋮−2−1⋱k0f00(x)1f11(x)2⋱⋯Fd
2. Hoar函数
(1)定义: h(x)={ 010≤x≤1else
。
(2)Hoar函数的平滑与缩放。定义Hoar函数族为 Hd:{ hdk(x),k∈Z}
,
∀d∈Z
。这样我们每个 Hd为一组(胖瘦一样)。
定理1(正交): Hd
是 L2(R) 平方可积函数的一个正交基,即对于任意的 k≠g ,有 <hdk(x),hdg(x)>=∫hdkhdgdx=0。
定理2(增长):随着d的增加, Hd
张成的闭子空间逐渐增大,且 Hd¯¯¯¯¯¯¯⊆Hd+r¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 。这样,d比较小的函数一定能用d比较大的函数(正交基)来表示,比如 h00(x)=h10(x)+h11(x)/2。直观的理解就是,d越大,分辨率越高。
定理3(完备): Hd¯¯¯¯¯¯¯↑L2(R)
(3)定义 ωd
,使 ωd=Hd+1⊖Hd ,或者 Hd+1=ωd⊕Hd。
(4)定义 w(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1−100≤x≤1212≤x≤1else
,然后 wdk(x)=2dw(2dx−k),k,d∈Z。
定理4:函数族 ωd:{ wdk(x),k∈Z}
, ∀d∈Z ,则 ⊕dωd=L2(R) 亦为完备基,且 ωd⊥ωd? ,如果 d≠d′ 。也就是说, Hd+1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 和 Hd¯¯¯¯¯¯¯之间的空间随着d的增加,彼此正交,且所有的叠起来之后亦为完备空间。
如此,我们称 w(x)
为子波(mother)而 h(x)为father函数。注意,这里Hoar函数非连续。
在更一般的场合,我们寻找 f(x)
为father函数,然后定义 Fd:{ fdk(x),k∈Z} ,满足 <fdk(x),fdg(x)>=0 (正交),且 Fd¯¯¯¯¯¯¯⊆Fd+r¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (增长), Fd¯¯¯¯¯¯¯↑L2(R)(完备)。
再寻找mother函数 g(x)
满足 <gdk(x),gdg(x)>=0 (同层次内正交)、 Fd+1=Gd⊕Fd (相邻层次正交补)和 ⊕dGd=L2(R)完备。
这样的 f(x)
和 g(x)到底存不存在呢?实证结论是存在,而且很多,不过坏消息是他们的形式都不算简单。
spline和子波分析都提供了一组线性基底,其线性组合可以定义函数类。由此,我们可以定义广义线性模型的函数族,为统计学习模型的函数族做约束。
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